Palkkien nurkkaliitosten mallinnus

1-ulotteiset (yleensä 2- tai 3 solmuiset lineaariset ja neliölliset) palkkielementit  ovat käytännöllisiä mallinettaessa palkkikehien yleisiä muodonmuutoksia ja nimellisjännityksiä. Palkkikehien liitokset ovat kuitenkin usein ongelmallisia- ne eivät ole koskaan täysin jäykkiä tai niveliäkään vaan joustavia, ja ne tulisi huomioida joustavilla elementeillä. Nurkkaliitoksissa on yleensä vahva vuorovaikutus liittyvien palkkisolmujen eri vapausasteiden välillä, ja tavallisten jousielementtien käyttö on usein riittämätöntä. Lineaarisellakin alueella tarvittaisiin yleisessä tapauksessa 12x12 -joustomatriisi vastinsolmujen vapausasteiden välillä, mutta tällaisen matriisin muodostaminen ei ole yksinkertaista. Lisäksi ollaan usein kiinnostuneita myös liitoksen paikallisista jännityksistä, jotka riippuvat monimutkaisesti liitosta kuormittavista voimista ja momenteista.

Jos tarvitaan liitoksen tarkka jäykkyys ja jännitykset, on elementtimenetelmää sovellettaessa liitosalue syytä mallintaa suhteellisen tiheällä kuori- tai solidielementtiverkolla.

Liitoksen mallinnus solidielementeillä

Jos käytetään vakiopoikkileikkausprofiileja, on säännöllisen ja hyvälaatuisen kuutiosolidiverkon pursottaminen yksinkertaista. Ohuiden seinämien paksuuden yli on syytä käyttää joko neliöllisiä (20-solmuisia) tai muita elementin taipumisen huomioivia kuutioelementtejä tai 3 tai useamman lineaarisen kuutiosolidielementin verkkoa paksuussuunnassa poikkileikkauksen vääristymisen huomioimiseksi oikein.

Kuutiosolidiverkolla saadaan suhteellisen järkevällä elementti- ja vapausastemäärällä riittävän tarkka laskentamalli.

Tetraedrielementeillä mallinnuskin on mahdollista, mutta se tuottaa väistämättä suuren mallin elementtien sallitun sivusuhteen ollessa paljon kuutioelementtejä pienemmän. Tetraedriverkkoa käytettäessä on aina syytä käyttää vähintään neliöllisiä (10-solmuisia) elementtejä.

Liitoksen mallinnus kuorielementeillä

Käytännössä solidimallia tarkempia tuloksia saadaan vastaavalla elementtikoolla toteutetulla kuorimallilla, joka on solidimallia tehokkaampi varsinkin profiilien koostuessa ohutseinäisistä osista. Profiilin seinämien taipuminen liitosalueella mallintuu kuorielementeillä tarkasti pienelläkin elementtimäärällä.

Yleensä halutaan käyttää kuorielementtien mallinnusta profiilin levymäisten osien keskipinnoilla, vaikka usein olisi huomattavasti helpompaa ja edullisempaa verkottaa kuorimalli suoraan solidigeometriana saadun geometrian ulkopinnalle käyttäen kuorielementeillä solmutason niiden yläpinnalle määrittäviä offsetkuorielementtejä, joita on käytettävissä useimmissa lujuuslaskentaohjelmistoissa. Laskentaverkon muodostaminen manuaalisesti profiilin seinämien keskipinnoille olisi usein hankalaa, ja toisaalta useissa laskentaohjelmistoissa oleva mahdollisuus automaattiseen keskipinnan etsimiseen toimii usein epäluotettavasti varsinkin vähänkin mutkikkaampien profiililiitosten alueella jättäen usein liittyvien profiilien väliin aukkoja tai ylimääräisiä reunoja. Riippuen ohjelmistosta, näiden epätarkkuuksien manuaalinen löytäminen ja korjaaminen voi olla hyvin työlästä.

Miksi sitten halutaan käyttää keskipintamallinnusta? Offsetkuorilla mallinnus on keskipintamallinnusta epätarkempaa. Profiilien teräviin nurkkiin ja liitosalueille syntyy ulkopinnalle mallinnettuja offsetkuorielementtejä käytettäessä "ylimääräistä ainetta", joka lisää poikkileikkauksen näennäisiä poikkileikkausarvoja laskennassa. Tämä aiheuttaa paksuseinäisillä putkilla huomattavaa virhettä tuloksiin. Useilla normaalisti käytettävillä suorakulmaisilla putkipoikkileikkauksilla virhe on kuitenkin hyväksyttävissä 5% normaalin insinööritarkkuuden sisällä (ks. käyrästöä alla).

Periaatekuva ulkopinnalle mallinnetun offsetkuorielementtiverkon virheestä paksuseinäisellä neliöputkiprofiililla. Oranssilla esitetyillä nurkkien alueilla mallintuu ylä/pohjanahka päällekkäin sivuseinämien kanssa lisäten laskennassa näennäisiä poikkileikkaussuureita.

Pinnalle offsetkuorielementeillä mallinnetun terävänurkkaisen suorakaideputken taivutusjäyhyyden ja -vastuksen suhteellinen virhe suhteessa tarkkaan arvoon eri mittasuhteilla poikittaisakselin (b-suunnassa) ympäri tyypillisillä RHS-putkien mitoilla. Sivujen mitat muutettu dimensiottomiksi jakamalla putken vakiopaksuudella.

Myös keskipinnan suhteen mallinnettaessa teräväkulmaisen profiilin laskennallisissa poikkileikkausarvoissa syntyy virheitä taivutussuureissa, vaikka laskennallinen poikkileikkauspinta-ala mallintuukin tällöin oikein. Suhteellinen virhe on huomattavasti pienempi kuin pinnalle offset-elementeillä verkotetussa tapauksessa.

Keskipinnan suhteen mallinnettu neliöprofiili. Nurkkasolmut punaisina palloina, päällekkäinen materiaali oransseina alueina. Mallinnustapa siirtää materiaalia lähemmäs neutraaliakselia pienentäen laskennallista taivutusjäyhyyttä.

Keskipinnalle kuorielementeillä verkotetun terävänurkkaisen putkipalkkipoikkileikkauksen taivutusjäyhyyden suhteellinen virhe tarkkaan arvoon verrattuna eri poikkileikkauksilla.

Koska laskennassa pyritään konservatiivisuuteen, eli mieluummin aliarvioidaan kuin yliarvioidaan rakenneosien lujuutta ja jäykkyyttä ja toki myös parempaan tarkkuuteen, on halu mallintaa keskipinnan suhteen ymmärrettävissä.

Mallinnus kuorielementin kaarevuuden huomioivilla elementeillä

Perinteisillä kuorielementeillä, joissa kuoren oletetaan olevan tasossa, sama "materiaalin lomittuminen" esiintyy myös esimerkiksi pyöröputkiprofiileilla. Tilanne on toinen käytettäessä pyöreäseinäisiä tai nurkastaan pyöristettyjä profiileja yhdessä nykyaikaisissa ohjelmistoissa käytettävien neliöllisten paksukuori(offset)elementtien kanssa, jotka useimmissa ohjelmistoissa olettavat elementtien reunojen olevan kuoren normaalin suuntaisia myös elementtien ollessa kaarevia. Tällöin poikkileikkaukset mallintuvat oikein. 

Neliöllisillä paksuilla offsetkuorielementeillä sylinteriprofiilin ulkopinnalle muodostetun solmutason (oranssit pallot) mukaan mallinnetut kuorielementit profiilin päästä nähtyinä.

Jotkut ohjelmistot tekevät saman oletuksen myös lineaarisilla paksukuorielementeillä viereisten elementtien normaalisuunnan poiketessa toisistaan hieman. Useimmat suorakulmaiset RHS -putkiprofiilit ovat nurkistaan pyöristettyjä, joten myös niissä kaarevuuden huomiointia voidaan käyttää hyväksi muodostamalla kuorimalli ulkopinnan suhteen mallin tarkkuuden kärsimättä.

Abaquksen lisäksi myös mm. NX-Nastran tekee tällaisen oletuksen lineaarikuorimalleissa. NX-Nastran olettaa kuorielementtien kuuluvan samaan pintaan jos normaalikulma beta <= 20 astetta (kuva alla), mutta haluttaessa tätä voidaan kasvattaa lisäämällä SNORM -parametrin arvoa.

NX-Nastranin kuorielementtien käyttämä tapa arvioida paikallinen normaali solmupisteessä liittyvien elementtien normaalien kulmaeroista (lähde: NX-Nastran 11 User's guide)

Tulosten vertailua

Nurkkaliitos pyöröputkilla

 Kuvissa alla on vertailtu tuloksia paksuseinäisistä pyöröputkista 90 asteen jiiriin tehdylle nurkkaliitokselle erilaisilla mallinnustavoilla. Kuvissa vasemmalla on tulos yksikerroksiselle solidielementtiverkolle, keskellä keskipinnalle mallinnetuilla kuorielementeillä ja oikealla ulkopinnalle mallinetuilla offsetkuorielementeillä käyttäen Abaquksen kuorielementtejä, jotka huomioivat elementtien kaarevuuden. Kuormana on mallin toisen putken päässä oleva poikittainen yksikkövoima toisen putken pään ollessa jäykästi kiinni. Siirtymämuodot ja väritasot kuvakolmikoissa on skaalattu samoiksi.

Tässä on käytetty neliöllisiä elementtejä, joissa on reunojen keskisolmut. Mallinnettaessa rakenteen seinämät yhdellä kerroksella solidielementejä, on käytettävä elementin taipuman oikein mallintavia solidielementtejä, jollaisia mm. 20-solmuiset neliölliset kuutiosolidielementit ovat.

Siirtymätasot. Kuorielementeillä lasketut siirtymät hyvin tarkkaan saman suuruisia (ero < 1%). Solidimalli on noin 3% jäykempi kuin keskipintamalli.

von Misesin jännitykset. Ero kuorimalleissa <1%, huippujännitys solidimallista 8% pienempi kuin keskipintamallissa.

RHS-putkipalkkiliitos

Pyöröputkia useammin kantavissa rakenteissa käytetään suorakaideputkipalkkeja, joiden mallinnuksen ulkopinnalle muodostetulla kuorielementtiverkolla voi myös osoittaa antavan hyviä tuloksia sopivalla ohjelmistolla edellyttäen, että nurkkapyöristys on mallinnettu. 

Edeltäviö pyöröputkilaskelmia vastaava laskelma RHS60x40x2,5 putkipalkkiliitokselle, siirtymätasot. Vasemmalla normaali palkkimalli, keskellä ulkopinnan mukaan mallinnettu offsetkuorimalli ja oikealla neliöllisillä kuutiosolidielementeillä (1 elementti/paksuus) muodostetut mallit. Poikkileikkauksen vääristymät huomiotta jättävä palkkimalli on noin 2x jäykempi kuin kuori- ja solidimallit, joilla on keskenään lähes samat tulokset.

Jännitystasot eri mallinnustavoilla. Huippujännitykset liitoksessa noin kymmenkertaisia kuori- ja solidimalleilla palkkimallin (nimellis)jännityksiin verrattuna.

Päätelmiä

Tarkastelluissa tapauksissa ja käytetyillä kuorielementtityypeillä (Abaqus Standardin S4R,S8R) tulokset ovat hyvällä insinööritarkkuudella samoja riippumatta siitä, onko mallinnus tehty ulkopinnan tai keskipinnan suhteen edellyttäen että kaaren säteellä on riittävästi elementtejä jatkuvan pinnan tunnistamiseksi myös nurkastaan pyöristetyillä suorakaideputkirakenteilla. Terävänurkkaisissa profiileissa, joissa nurkan kohdalla kuori ei mallinnu jatkuvaksi, on kuitenkin odotettavissa poikkeuksia tähän havaintoon. Käytettäessä muita ohjelmistoja on syytä lisäksi tarkistaa käytettävän ohjelmiston kuorielementtien käytös kaarevilla kuorielementeillä.

Yhdellä neliöllisellä kuutiosolidielementtikerroksella seinämäpaksuuden yli muodostettu verkko antaa lähes samoja tuloksia kuin kuorielementtimallit samalla elementtitiheydellä. Solidimallin tuloksia on myös mahdollista parantaa muodostamalla ohut kerros kalvo- tai kuorielementtejä solidimallin pintaan, josta jännitykset lasketaan (tästä lisää toisaalla tässä blogissa). Kuutiosolidiverkon pursottamista voikin pitää käytännön työssä nykyaikaisilla työkaluilla ja tehokkaalla verkotustekniikalla käyttökelpoisena vaihtoehtona myös profiilien ja niiden liitosten tuottavaan mallinnukseen.

Lineaarinen, harva kuutiosolidielementtiverkko yhdellä elementillä rakenteen paksuuden yli
antaa muihin laskentamalleihin verrattuna selvästi poikkeavia (liian jäykkiä) tuloksia niin jännitysjakaumien kuin niiden arvojenkin suhteen kun elementtien alueella tapahtuvilla taipumilla on merkitystä. Rakenteen paikalliset taipumat paremmin huomioivalla tiheämmällä verkolla, jossa on useampi elementti paksuuden yli, on saatavissa asiallisia tuloksia myös tällaisella elementtityypillä.