Alustaherätteen mallintamisesta

Lujuuslaskennassa on yllättävän paljon mahdollisuuksia luovalle mielikuvitukselle siinä suhteessa, kuinka laskenta tehdään. Oikeaan, tai kyseisessä tapauksessa riittävän tarkkaan tulokseen pääsemiseksi on helposti kymmenen erilaista tapaa. Valitettavasti samalla on ainakin sata tapaa tehdä laskenta jotenkin väärin ja saada väärä tulos. Joissain tapauksissa on toki tarkat säännöt kuinka laskenta on tehtävä ja dokumentoitava, mutta useimmiten säännöt määrittävät vain esimerkiksi yleiset kuormat, jotka rakenteen on kestettävä. Kuinka kuormat tuodaan laskentamalliin ja millainen mallin elementtiverkko tarkalleen on jää usein laskijan vastuulle.

Mm. laitteeseen ja sen alustaan kiinnittämiseen käytettävään pukkiin tai muuhun rakenteeseen kohdistuvan alustaherätteen tai -shokin mallintamisessa esimerkiksi maanjäristyksen yhteydessä on muutama sudenkuoppa, jotka on syytä tunnistaa virheellisten tulosten tai tulkinnan välttämiseksi. Seuraavassa pari väärää (tai väärän tuloksen antavaa) mallinnustapaa ja yksi tapa jolla alustakiihtyvyyden mallinnus tehdään oikein. 

Esimerkissä alustassa vallitsee yksittäinen, sinimuotoinen shokki, jossa alustan kiihtyvyys, nopeus ja siirtymä ovat aluksi nollia hetkellä t=0. 

Alla on esitetty alustan kiihtyvyys ja tästä integroitu alustan nopeus sekä siirtymä, kun shokin amplitudi on 1000g ja sen kesto T=0.01s.

 

1. Alustakuorman mallinnus pakkosiirtymällä (väärin)

Tässä tavassa alustan siirtymä integroidaan vaadittavasta kiihtyvyydestä kahteen kertaan.  Tarkasteluväli jaetaan osaväleihin, joissa alustan siirtymä lasketaan aikapisteittäin.

Ongelma on yleensä se, että alustasiirtymä annetaan käytännön syistä paljon harvempina ajanhetkinä kuin ohjelma integroi siirtymät numeerisesti. Ohjelman kannalta alustan nopeus on askelmien aikana nolla siirtymien pysyessä vakiona, ja askelten välillä nopeus ja muuttuu epäjatkuvasti / impulsseina derivoitaessa nopeus siirtymistä numeerisesti. Alustan numeerisesti laskettu kiihtyvyys laskennassa on tätäkin epäjatkuvampi, eikä enää vastaa lainkaan annettua kiihtyvyysvaatimusta muodoltaan eikä vaikutuksiltaan.

Impulssi herättää kaikki rakenteen alustaherätteestä heräävät värähtelymuodot jokaisen askeleen kohdalla. Maston jalkojen kohdalla alustasolmut siirtyvät yhden askelen aikana toiseen kohtaan, kun loppurakenne pysyy vielä paikallaan massahitaudesta johtuen. Jalan elementtien venymät ja jännitykset riippuvat tällöin laskentaverkon tiheydestä niiden kasvaessa rajatta verkon tihentyessä, mikä ei vastaa todellisuutta. Erityisesti tämä ongelma ilmenee eksplisiittisessä transienttilaskennassa.

Alustan diskreetit pakkosiirtymät ja niistä differensseillä approksimoitu alustan nopeus ja kiihtyvyys, jollaisina laskentaohjelmisto saattaa tilanteen pahimmillaan tulkita, kun alustan siirtymää (ja nopeutta) diskretoidaan suuremmalla välillä kuin (eksplisiitti)laskenta suoritetaan.

Vaikka alustan liike määritettäisiin pakkosiirtymän sijaan alustan nopeutena, pysyy alustan nopeus useimmissa laskentaohjelmistoissa vakiona askelen aikana, jolloin askelten välillä edelleen vallitsee  suuri hetkellinen kiihtyvyysimpulssi kiihtyvyyden ollessa askelen aikana muutoin nolla. Tulos ei tällöinkään ole oikein. 

Alustan siirtymä, nopeus ja kiihtyvyys laskennan kannalta, jos siirtymät interpoloidaan askelten aikana.

Yleensä laskentaohjelmistoissa on siirtymän lisäksi myös nopeusvapausasteet, joille pitäisi myös saada laskettua riittävän tarkat - ja siirtymähistoriaa vastaavat - reunaehdot alustasolmuihin kaikilla analyysihetkillä ongelmien välttämiseksi.

2. Voima massapisteessä (yleensä väärin)

Voisi ajatella, että kertomalla vaadittavan alustakiihtyvyyshistoria laitemassalla ja kohdistettaessa tämä voima vastakkaissuuntaisena laitemassaan saataisiin vastaava tilanne kuin käytettäessä alustakiihtyvyyttä. Tällöin kuitenkin unohdetaan joustavan konepukin dynamiikka laitteen ja alustan välissä; Tilanne ei ole sama kuin kohdistettaessa kiihtyvyysvoima alustaan. 

Poikkeuksena tästä säännöstä on tilanne, jossa konepukki mallinnetaan yksinkertaisesti massattomana jousena ilman omaa dynamiikkaa. Tällöin mallinnustapa vastaa seuraavassa kohdassa esitettävää koko rakenteeseen kohdistettavaa kiihtyvyyshistoriaa.

3. Negatiivinen alustan kiihtyvyyshistoria laitteeseen ja laitepukkiin (oikein/väärin)

Jos laskentaohjelmisto mahdollistaa ajan suhteen muuttuvan, koko rakenteeseen ja laitteeseen samanaikaisesti vaikuttavan kiihtyvyyden käyttämisen, voi alustakiihtyvyyden kohdistaa vaikuttamaan vastakkaissuuntaisena koko rakenteeseen sitoen alusta paikalleen. 

Suhteellisen jäykästi tuetun laitteen (ominaistaajuus 333Hz) siirtymä käyttäen alustakiihtyvyyttä (punainen viiva) ja kohdistamalla vastakkaissuuntainen kiihtyvyys tai alustakiihtyvyydellä kerrottu pistevoima laitemassaan (katkoviiva) yhden vapausasteen systeemissä.

Vaikka rakenteen siirtymät, nopeudet ja kiihtyvyydet rakenteessa ovatkin tässä ulkoisen tarkkailijan näkökulmasta vääriä, ovat ne alustasolmuun tai muualle rakenteeseen kiinnitetyn tarkkailijan suhteen oikein. Suhteellisten liikkeiden ja muodonmuutosten määrittämät suureet, kuten rakenteen sisäiset venymät, jännitykset ja voimat ovat oikein.

Jousivoima massattomassa laitepukissa laskettuna suuren alustamassan menetelmällä ja laitemassaan vaikuttavalla, alustakiihtyvyyteen vastakkaissuuntaisella pistevoimalla. Tässä tapauksessa molemmilla menetelmillä saadaan sama tulos.

Esimerkiksi alustakiihtyvyyden verifiointi vaatimusten suhteen vaatii tässä menettelyssä hankalaa tai hankalasti perusteltavaa tulkintaa. Menetelmä voi silti joissain tapauksissa olla käyttökelpoinen tapa saada tuloksia rakenteen suhteellisista siirtymistä johdettaville venymille, jännityksille tai jousivoimille.

4. Voima suureen alustamassaan (oikein)

Tämä on monessa laskentastandardissakin (erityisesti maanjäristysstandardit) käytettävä menetelmä, jossa laskentamallin perustukset mallinnetaan pistemassalla, joka on moninkertainen koko muun laskentamallin yhteenlaskettuun massaan verrattuna. Tähän alustamassaan kohdistetaan ajasta riippuva pistevoima, joka on vaadittu alustakiihtyvyyshistoria kerrottuna mallin kokonaismassalla. Menettelyllä laskentaohjelmisto laskee voimasta alustasolmun kiihtyvyyden, ja integroi sen nopeuden ja siirtymän. Numeerinen integrointi on tarkkaa. Lisäksi laskentaohjelmat yleensä interpoloivat voiman annettujen voimapisteiden välillä, joten menettelyllä saadaan tarkasti vaadittu, helposti verifioitava alustakiihtyvyys sekä sitä vastaava siirtymä ja nopeus pienellä vaivalla.

Esimerkki

Kuvissa alla on näytetty alustan ja laitteen simuloitu siirtymä, kun laitteen ja alustan välisen pukkirakenteen jouston varassa laitteen ominaistaajuus on 333 Hz.  Alusta siirtyy edellä alustakiihtyvyyden mukaisesti tarkalla menettelyllä (suuri alustamassa) ja toisessa tapauksessa alustan pakkosiirtymällä, jossa pakkosiirtymä muuttuu askelittain laskenta-askelta harvemmilla askelilla. 

Laitemassa (oikealla) kiinnitettynä alustaan (vasemmalla) elastisen, massattoman pukkirakenteen (keskellä) avulla.

Laskenta on tehty eksplisiittilaskentana käyttäen Verletin aikaintegrointia ja 0.2ms laskenta-askelta. Alustan siirtymä on esitetty punaisella viivalla ja laitteen siirtymä sinisellä katkoviivalla. Ylemmässä kuvassa on käytetty suuren alustamassan menetelmää ja alemmassa alustan pakkosiirtymää. Alustan ja laitteen siirtymät käyttäytyvät selvästi eri tavoin, ja alustashokkia nopeamman värähtelijän ominaismuoto herää ja jää heilahtelemaan iskun jälkeenkin, vaikka tässä tapauksessa suhteellisen jäykkä värähtelijä todellisuudessa seuraakin alustan siirtymiä.

Alustan tarkka siirtymä (ylhäällä) ja diskretoitu siirtymä (alhaalla) punaisella sekä vastaava laitemassan siirtymä (sininen katkoviiva)