Nostovoiman synty

On oikeastaan aika yllättävää, miten kouluissa ja jopa lentolupakirjakursseilla opetetaan lentokoneen nostovoiman syntymistä väärin. Yksi väärä opetus on, että nostovoima syntyy siiven kaarevuudesta. Yläpintaa pitkin kulkevat ilmamolekyylit joutuisivat kulkemaan pidemmän matkan kuin sen alapinnalla. Pidemmän matkan tekevät molekyylit joutuisivat kulkemaan jostain syystä nopeammin kuin alapinnalla, mistä syntyisi paine-ero ja nostovoima. Tämä ei pidä paikkaansa, mikään luonnonvoima ei pakota molekyylejä kulkemaan siiven yläpinnan ja alapinnan yli samassa ajassa. 

Toisasiassa nostovoimaa synnyttävän siiven yläpinnalla ilma etenee keskimäärin paljon alapinnan virtausta nopeammin- siiven yläpuoliset molekyylit saavuttavat takareunan ennen alapinnan molekyylejä, kuten allaolevasta animaatiosta voi nähdä. 

 Siipiprofiilin kaarevuus ei ylipäätään ole nostovoiman syntymisen edellytys - kaarevillakin siipiprofiileilla varustetut lentokoneet pystyvät lentämään jopa selkälentoa!😯 Jonkin verran asiaa jo opiskelleet taas kinastelevat siitä, selittääkö siiven nostovoiman Newtonin lait vai Bernoullin yhtälö, tai toisin sanottuna siiven alaspäin kiihdyttämän ilmamassan aiheuttama reaktiovoima vai paine-ero siiven ylä ja alapinnan välillä. Minä väittäisin, että kumpikaan yksinään ei nostovoimaa selitä, mutta yhdessä  Kutta-ehdon kanssa se onnistuu. Siiven nostovoiman aiheuttaa sen terävä takareuna! 😉).

Animaatio, joka esittää nostovoimaa kehittävän siiven ympäri tapahtuvan todellisen virtauksen; Molekyylit eivät kulje siiven ylä- ja alapinnan yli samassa ajassa, vaan yläpinnan molekyylit kulkevat huomattavasti nopeammin. (Kraaiennest, CC BY-SA 3.0 <https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0>, via Wikimedia Commons) 

Oikeastaan tämän kirjoituksen voisi päättää tähän, mutta mennään vähän pidemmälle ja yritetään selittää jotain perusteita mahdollisimman havainnollisesti. Ehkä lukiomatematiikkaa tarvitaan, mutta sirkulaatioihin ja (huomattavaan) nablanpyörityksiin en lähde. Jos pystyn esittämään asiani niin, että tavallinen, ehkä lukionsa käynyt ihminen ne ymmärtää oikein, olen tavoitteeni saavuttanut. Tarkka laskenta vaatii matemaattisia temppuja paljonkin, mutta perusilmiöiden pitäisi olla ymmärrettävissä pienellä pinnistelyllä. Kyseessä ei ole magiikka, vaan periaatteessa jokapäiväiset ilmiöt. Elämme ilmameressä ja huomaamme aerodynaamisen nosteen toimivan joka kerran vaikkapa tuulen nostaessa maassa makaavia rakennus- ja vaahtoeristelevyjä korkealle taivaalle ja kiroilevan naapurin tontille. Mutta jos jotakuta kiinnostaa tutustua näihin aiheisiin vähän tarkemmin ja tieteellisemmällä pohjalla, olen lisännyt tekstiin hyperlinkkejä, joista voi joitakin aiheita tutkia lisää, jos taustaa ja asianharrastusta löytyy.

Olen Teknillisen korkeakoulun aerodynamiikankin kurssit muinoin käynyt lentotekniikan diplomi-insinööri. Vaikka työurani ajan olenkin puuhannut vain erilaisten rakenteiden parissa, luulisin tietäväni mistä puhun. Mutta kommentteja ja ehkä asiallisia korjauksiakin saa esittää jos tarvetta ilmenee. 

Kineettinen kaasuteoria

Mistä syntyy ilmanpaine, jonka ero siiven ylä- ja alapintojen välillä aiheuttaa voiman ylöspäin? Mitä on ilman lämpötila? Miten nämä vaikuttavat toisiinsa? Nämä ovat kysymyksiä, joihin kineettinen kaasuteoria tarjoaa vastauksen. 

Kaasun oletetaan koostuvan suuresta määrästä pieniä, pistemäisiä molekyylejä, jotka sinkoilevat kaikkiin suuntiin törmäten seinämiin ja toisiinsa täysin kimmoisasti, eli energiaa menettämättä alla olevan animaation mukaisesti. Seinistä kimmotessaan palloihin syntyy liikemäärän muutos niiden kohtisuoran nopeuden muuttuessa vastakkaiseksi. Tämä aiheuttaa impulssin seinää vasten. Kun tällaisia impulsseja seinää vasten tapahtuu jatkuvasti lukematon määrä, syntyvä keskimääräinen reaktiovoima seinää vasten havaitaan  tasaisena kaasun paineena. 

Jos molekyylien määrä tilavuutta kohti eli kaasun tiheys ρ (rho) kasvaa, törmäysten määrä seiniä vasten ja seurauksena myös havaittu paine kasvavat. Molekyylien nopeuden kasvattaminenkin lisää havaittua painetta seiniä vasten impulssien tullessa voimakkaammiksi.

Kaasumolekyylien törmäilyä toisiinsa ja seinämiin. By A. Greg (Greg L at English Wikipedia) - Own work, Public Domain, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=1325234

Tiheyden lisääminen onnistuu tietenkin pumppaamalla vakiotilavuiseen säiliöön lisää kaasumolekyylejä, mutta mistä molekyylien nopeus sitten riippuu ja kuinka sitä voi muuttaa? 

Kaasumolekyylien yhteenlaskettu liike-energia kasvaa kyseisen kaasumäärän lämpötilan nousun vaatiman energiamäärän verran. Toisin sanoen, kaasun lämpötila on sen molekyylien lämpöliikkeen havaittu ilmentymä. Koska molekyylin liike-energia Ek=0,5mv^2 riippuu sen massan m ja liikenopeuden v neliöstä, riippuu kaasun molekyylien nopeuden neliöllinen keskiarvo kaasun lämpötilan neliöjuuresta. Kaasun lämmittäminen siis lisää vakiotilavuudessa kaasun painetta seinämiin törmäävien molekyylien nopeuden kasvaessa. Myös äänen nopeus kaasussa kasvaa suhteessa lämpötilan neliöjuureen, vaikka se ei olekaan yhtä suuri kuin em. molekyylien keskinopeus.

Toisaalta molekyylien nopeus pienenee kaasun jäähtyessä. Kun lämpötila jäähtyy absoluuttiseen nollapisteeseen 0 Kelviniä eli -273,15 astetta Celsiusta, kaikki lämpöliike lakkaa ja kaasumolekyylit pysähtyvät (tosiasiassa mikään aine ei ole enää kaasuolomuodossa, vaan kiinteänä tai nesteenä lähellä absoluuttista nollapistettä). Tällöin paine seinämiä vastaan olisi nolla.

Suuruusluokkien karkeaksi arvioimiseksi rasittamatta lukijaa ja itseänikin kaavoilla ja taulukoilla kysyin Gemini-tekoälyltä tätä blogia varten (näissä voi olla virheitä!) muutamia numeroarvoja; 

Nollan Celsius-asteen lämpötilassa yksittäisten ilmamolekyylien neliöllinen keskinopeus on 485 m/s. Merenpinnan tasolla ilmamolekyyli lentää keskimäärin 60-68 nanometrin matkan ennen törmäämistään toiseen ilmamolekyyliin, ja molekyyli törmää toiseen keskimäärin 7-8 miljardia kertaa sekunnissa. Neliösenttimetrin kokoista seinämää vasten tapahtuu 2,8* 10^23 törmäystä sekunnissa.

Ihmisen mittakaavassa nämä ovat käsittämättömiä lukuja, eikä yksittäisiä molekyylien törmäyksiä voi erottaa toisistaan. Sen sijaan ihminenkin pystyy jopa aistimaan molekyylien lämpöliikkeestä aiheutuvia makroskooppisia ilmiöitä mm. paineena tai lämpötilana.

Nostovoima molekuläärivirtauksessa

Tämä on ehkä yksinkertaisin selitys nostovoimalle, vaikka se ei pädekään kuin joissain erikoisolosuhteissa. Se on kuitenkin helppo ymmärtää ilman vaikeita kaavoja antaen pari yleispätevää sääntöäkin.

Molekuläärivirtausta tapahtuu silloin, kun kaasu on niin harvaa, että kaasumolekyylit eivät juurikaan törmää toisiinsa. Käytännössä tämä toteutuu vain lähes tyhjiössä, kun ilmanpaine on noin 1 mikrobaarin luokkaa, mikä vastaa yli 80 km korkeutta Maan ilmakehässä. 

Edellisessä kappaleessa tarkasteltiin tilannetta, jossa kaasun keskimääräinen nopeus seinämien tai esimerkiksi tasolevysiiven suhteen on nolla, mutta nyt keskimääräinen, suhteellinen virtausnopeus V levyn suhteen eroaa nollasta. Oletetaan lisäksi, että levy on hieman kallistettu, eli sillä on pieni kohtauskulma α tulovirtauksen suhteen.

Tarkastellaan yksinkertaisuuden vuoksi tilannetta, jossa virtausnopeus V on paljon suurempi kuin molekyylien lämpöliikkeen neliöllinen keskinopeus vRMS. Tällöin molekyylit kohtaavat levyn lähes virtauksen suunnasta. Kallistetun levyn yläpinnalle ei silloin kohdistu painetta, siellä vallitsee tyhjiö. Toisaalta levyn alapinnan projektiossa molekyylit törmäävät alapintaan. 

Kallistettu levy molekyläärivirtauksessa, kun virtausnopeus on paljon molekyylien keskinopeutta suurempi.

Kallistetun levyn alapintaan törmää aikavälillä Δt kaasutilavuus, joka riippuu levyn pinta-alasta A, sen kallistuksesta virtaukseen eli kohtauskulmasta α (radiaaneina) sekä virtausnopeudesta V. Pienillä kohtauskulmilla, kun sin(α)~=α, tämä tilavuus on suuruudeltaan AαVΔt. Tilavuuden sisällä olevien, levyyn ajan Δt aikana törmänneiden molekyylien massa on  ρAVαΔt, jossa ρ on kaasun tiheys. Jos oletetaan että molekyylien törmäykset levyyn ovat kimmoisia, on molekyylien levyyn nähden kohtisuora nopeuden muutos pienillä kohtauskulmilla 2Vα, josta levyä vastaan kohtisuoran kokonaisliikemäärän muutosnopeudeksi molekyyleille aikayksikössä Δt saadaan 2ρAV²α². Koska levyn yläpinnalla vallitsee tyhjiö, on tämä sama asia kuin nostovoima L.

Todellisuudessa tilanne on mutkikkaampi, molekyylit eivät törmää levyyn kimmoisasti puhtaana peiliheijastuksena (spekulaarinen heijastus) nostovoiman jäädessä pienemmäksi ja vaikkapa ilmakehään suurella nopeudella palaavien avaruusalusten tapauksessa molekyylien saama valtava lisäenergia repii ne kuumaksi plasmaksi aiheuttaen häviöitä, mutta tämä "pingismailamallikin" antaa jo pari varsin yleispätevää sääntöä; Nostovoima kasvaa suhteessa ilman tiheyteen, siiven pinta-alaan ja virtausnopeuden neliöön. 

Yleensä lentotekniikassa nostovoima skaalataan suhteessa ilmavirran dynaamiseen paineeseen q=0,5 *ρV² ja siiven pinta-alaan A, joilla jakamalla saadaan siiven nostovoimakerroin CL, tässä tapauksessa CL=4α². Derivoimalla nostovoimakerroin kohtauskulmalla saadaan nostovoimakertoimen kaltevuus CL_α, eli nostovoiman muutos kohtauskulman muuttuessa. Edellä esitetyn esimerkin tapauksessa saadaan pienillä kulmilla CL_α=8α.

Jatkuva virtaus

Alailmakehässä molekyylit törmäävät toisiinsa niin tiheästi, että virtausta voidaan tarkastella kontinuumimekaniikan keinoin, jatkuvana aineena. Suuren molekyylimäärän synnyttämiä makrotason ilmiöitä voidaan käsitellä erilaisin yhtälöin, joissa usein käsitellään suuren määrän molekyylejä sisältävän kontrollitilavuuden käyttäytymistä virtaukentässä. 

Tärkein yhtälö on ehkä jatkuvuusyhtälö, joka ilmaisee massan katoamattomuuden lain. Virtauksen mukana kulkevan kontrollitilavuuden massa ei muutu. Jos kontrollitilavuus pienenee, sen tiheys kasvaa.

Toinen yhtälö on momenttiyhtälö, joka ilmaisee Newtonin 2. liikelain - kontrollitilavuus kiihtyy siihen suuntaan, johon virtauskentässä vaikuttavat voimat sitä vetävät. Jollei virtauksessa vaikuta muita voimia kuin painejakauma, on virtauksen mukana liikkuvalla kontrollitilavuudella kiihtyvyysvektori, joka saadaan jakamalla virtauskentässä kontrollitilavuuden kohdalla vaikuttava painekentän negatiivinen gradientti (tulihan se nablakin sieltä! 😖) kontrollitilavuuden massalla. Suomennettuna negatiivinen painegradientti tarkoittaa sitä suuntaa, johon paine pienenee nopeimmin (sisältäen myös paineen muutosnopeuden tässä suunnassa). Kun tähän lisätään kitkatermit, saadaan Navier-Stokesin yhtälöt. 

Kolmas yhtälö on energiayhtälö, joka ilmaisee termodynamiikan 1. pääsäännön - energiaa ei synny eikä katoa, mutta se voi muuttaa olomuotoaan. Virtauksen mukana liikkuvan kontrollitilavuuden sisältämä kokonaisenergia ei muutu, ellei energiaa siirry kontrollitilavuuden rajojen yli; Kun kontrollitilavuuden ja sen molekyylien (keskimääräinen) nopeus kasvaa niin, että siihen ei ehdi siirtyä lisää energiaa, sen sisältämien molekyylien nopeus, ts. staattinen lämpötila laskee ja paine pienenee, kuten edellä kinemaattisen kaasuteorian perusteella voi päätellä. Tällainen adiabaattinen prosessi on kaasudynamiikassa tärkeä ja toimivaksi havaittu oletus pysyttäessä selvästi alle äänen nopeuden alapuolella, eikä häviöitä aiheuttavia shokkiaaltoja esiinny.

Pienillä virtausnopeuksilla (<300 km/h) voidaan tarkastelua helpottaa merkittävästi muutenkin. Tällöin voidaan olettaa, että ilman tiheys pysyy vakiona, eikä energiayhtälöä tarvita.

Bernoullin yhtälö

Bernoullin yhtälö voidaan johtaa sekä momentti- että energiayhtälöstä erikseen. Momenttiyhtälötulkinnassa virtauksen mukana kulkevan kontrollitilavuuden nopeus kiihtyy edellisessä kappaleessa esitettyyn tapaan, kun sen etenemissuunnassa paine pienenee. Voidaan laskea, että jos tiheys ρ pysyy vakiona, tilavuuden staattinen paine p ja sen nopeus V riippuvat toisistaan kaavan p=p0-0,5*ρV² mukaan, jossa p0 on pysähtyneen virtauksen säiliö- eli kokonaispaine. Tämä on Bernoullin yhtälö kokoonpuristumattomalle kaasulle. Termiä q=0,5*ρV² kutsutaan dynaamiseksi paineeksi, jota käytetään useimpien virtausdynamiikkaan liittyvien voimakertoimien skaalaamisessa.

Sama tulos saadaan energiayhtälöstä. Kun kontrollitilavuuden kineettinen energia kasvaa sen nopeuden kasvaessa, kyseisen tilavuuden staattinen lämpötila laskee, mikä johtaa paineen pienenemiseen ja samaan kaavaan kuin edellä, kun tiheys pidetään vakiona.

Virtaus kiinteän kappaleen ympäri

Edellä esitetyt yhtälöt riittävät yhdessä virtauksessa olevan kappaleen ja ulkoisten reunaehtojen kanssa ratkaisemaan virtauskentän. Ongelmana vain on, että erityisesti Navier-Stokesin yhtälöt ovat epälineaarisia, mikä johtaa suuriin laskennallisiin hankaluuksiin. Muutamilla oletuksilla ratkaisu kuitenkin saadaan lineaariseksi, ja esimerkiksi lentokoneen ympärillä oleva virtauskenttä ja -voimat on jo 1930 -luvulta lähtien, erityisesti Ludvig Prandtlin työn ansiosta, pystytty laskemaan varsin tarkasti käyttötilanteessa. Potentiaalivirtausoletus mahdollistaa virtauksen laskennan mutkikkaidenkin kappaleiden ympäri, ja on perusta monille muillekin laskentamenetelmille. Siinä kaasu joudutaan olettamaan kokoonpuristumattomaksi ja pyörteettömäksi (käytännössä kitkattomaksi). Esimerkiksi kantoviivateorioilla pystytään arvioimaan äärellisen siiven nostovoima ja indusoitu vastus, ja ohutprofiiliteorialla saadaan laskettua painejakauma ja nostovoima helpohkosti käyristetyllekin (eli kaarevalle), ohuelle siipiprofiilille. 

Prandtlin kehittämä rajakerrosteoria ei ole enää lineaarinen teoria. Se käsittelee pinnan läheisyydessä olevia viskooseja ilmiöitä, kitkavoimia sekä virtauksen irtoamista.

Ohutprofiiliteorialla saadaan muutama tärkeä teoreettinen tulos, jotka pätevät kohtuullisesti paksummillekin siipiprofiileille; Profiilin nostovoimakeskiö on jänteen neljänneksen etäisyydellä sen etureunasta ja profiilin nostovoimakertoimen kaltevuus on vakio cl_α=2π. Kun esimerkiksi tasolevyprofiilin jänne on c, saadaan profiilin nostovoimakertoimeksi cl=2πα.  Myös siiven CL=2πα, jos kärkiväli on hyvin suuri verrattuna sen jänteeseen. Äärellisillä siivillä nostovoima kasvaa hitaammin kantoviivateorioiden mukaisesti.

Verrataan seuraavaksi ohutprofiiliteorian tulosta nostovoimakertoimelle aiemmin esitettyyn molekyläärivirtauksen antamaan tulokseen tasolevylle; Kun kohtauskulma on nolla, on nostovoima molemmissa tapauksissa nolla. Viiden asteen eli 0,087 rad kohtauskulmalla ohutprofiiliteorian antama profiilin nostovoimakerroin cl=0,548 ja molekulääriteorialla cl=0,061. Vastaavasti 10 asteen kohtauskulmalla arvot ovat cl=1,097 ja cl=0,244. 

Nostovoiman laskenta

Lineaarisella potentiaalivirtauksella voidaan laskea virtauskenttä mielivaltaisen siiven ympäri, mutta se ei yksin riitä nostovoiman laskentaan; Teoria ei sano mitään esimerkiksi siitä, mihin virtauksen patopisteet, eli pisteet, joissa virtausnopeus siiven pinnalla on nolla, syntyvät. Seuraavassa kuvassa esitetään kaksi vaihtoehtoa. Ääretön määrä muitakin mahdollisuuksia on olemassa reunaehtojen yksinään ollessa lineaariteorioissa riittämättömiä määräämään virtauskentän muodon.

Kaksi sallittua tulosta potentiaaliteorian mukaiselle laskennalle. Ylemmässä tapauksessa profiililla ei ole nostovoimaa, ja alemmassa tapauksessa virtaus jättöreunalla toteuttaa Kutta-ehdon.

This file is licensed under the Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported license.

Attribution:

J Doug McLean at English Wikipedia

Tämä johtuu potentiaaliteorian rajoituksista. Todellisen siiven rajakerros ei pysty kääntämään terävässä jättöreunassa siiven virtausta alapinnalta yläpinnalle, vaan alapinnan virtaus irtoaa ajautuen alavirtaan suunnilleen siiven ylä- ja alapinnan keskimääräisen jättöreunan tason määräämässä suunnassa alaviistoon. Potentiaaliteoria ei sellaisenaan ota tätä seikkaa huomioon.

Ongelma korjataan potentiaaliteoriaan pohjautuvissa laskentateorioissa Kutta-ehdolla, joka vaatii, että terävästä jättöreunasta virtaviivat irtoavat tasaisesti ylä- ja alapinnalta alemman kuvan mukaisesti. 

Jos virtauskenttä lasketaan käyttäen täyttä epälineaarista laskentaa ratkaisten Navier-Stokesin yhtälöt, siiven alapinnan virtauksen irtoaminen sen takareunasta toteutuu automaattisesti, eikä Kutta-ehtoa tarvita todellisen virtauskentän laskemiseksi.

Jättöreunan alastaitteen johdosta virtausnopeus siiven alapinnalla pienenee ja paine kasvaa. Pystysuuntainen paineen muutos siiven etureunalla taittaa virtausta siiven edessä ylöspäin. Virtausnopeus siiven yläpuolella kasvaa ja paine pienenee. 

Kun siiven ylä- ja alapinnan välisen kokonaispaine-eron siiven pintaa vasten aiheuttama nostovoima L lasketaan, voidaan todeta, että se on yhtä suuri kuin siiven edessä ja takana vallitsevan ilman kokonaismassavirran pystykomponenttien erotus. Nostovoima voidaan siis laskea yhtä hyvin Bernoullin kaavan mukaan saatavasta painejakaumasta siiven ylä- ja alapinnalla kuin Newtonin liikelain mukaisesti siiven aiheuttamasta virtauksen pystyliikemäärän muutoksestakin. Viimeksimainittu pätee myös molekyläärivirtaukseen, jossa Bernoullin lain oletukset eivät ole voimassa.